Description of Diffraction Profiles by Concepts of the Mathematical Statistics

Popis difrakčních profilů pomocí pojmů matematické statistiky

M. Čerňanský

Fyzikální ústav AV ČR, v. v. i., Na Slovance 2, 182 21 Praha 8, Česká republika

cernan@fzu.cz

Podobnost tvaru difrakčních profilů s grafickým znázorněním funkcí hustoty pravděpodobnosti v matematické statistice vedla k formálnímu převzetí některých pojmů matematického aparátu teorie pravděpodobnosti a k jejich využití pro popis difrakčních profilů. Zejména se jednalo o momenty funkce hustoty pravděpodobnosti, které stručně, numericky popisují polohu, rozptyl, asymetrii a plochost rozložení náhodné proměnné.

Podobně tomu, se poloha difrakčního profilu, kromě polohy jeho maxima, může popisovat polohou jeho těžiště – což je první moment kolem počátku (souřadnic). Kromě šířky v poloviční výšce profilu, nebo kromě integrální šířky lze šířku difrakčního profilu popsat variancí – druhým centrálním momentem. Asymetrii, resp. plochost difrakčního profilu lze kvantitativně popsat pomocí parametrů souvisejících se třetím, resp. čtvrtým momentem.

Jednou z výhod popisu difrakčních profilů pomocí momentů je to, že pro funkce svázané relací konvoluce platí určité vztahy také pro jejich momenty. Zejména pro těžiště a variance jsou tyto vztahy velmi jednoduché. Přitom je relace konvoluce u difrakčních profilů velmi důležitá. Vyjadřuje souvislost mezi profilem měřeným, instrumentálním a fyzikálním. Podobně tak mezi profilem fyzikálním, profilem od velikosti krystalických částic a profilem od mikrodeformací. Např. těžiště fyzikálního profilu lze určit přímo jen z těžiště profilu měřeného a z těžiště profilu instrumentálního.

Další výhodou je to, že druhý centrální moment – variance fyzikálního profilu má přímou fyzikální interpretaci ve smyslu velikosti krystalických částic a mikrodeformací. Čtvrté momenty byly použity k určení velikosti částic a mikrodeformací v případě, že je k dispozici jenom jedna difrakční linie. V tomto případě – u vyšších momentů – jsou však vztahy mezi momentami funkcí svázanými konvolucí složitější, a proto bylo navrženo použít z matematické statistiky, resp. teorie pravděpodobnosti další pojem – kumulanty (semiinvarianty). To je výhodné zvláště namísto vyšších momentů a v případě více než dvou funkcí svázaných konvolucí.

Poděkování.

Tato práce vznikla v rámci realizace projektu Akademie věd České republiky – KAN 300100801.