Čtvrté momenty v profilové analýze
M. Čerňanský
Fyzikální ústav AV ČR,
v.v.i., Na Slovance 2, 182 21 Praha 8, Česká republika
K popisu difrakčních profilů byly z matematické
statistiky formálně převzaty některé veličiny charakterizující hustotu
(rozložení) pravděpodobnosti f(x) náhodné veličiny x. Motivem byla vnější podobnost tvarů hustot pravděpodobnosti
a difrakčních profilů. Jednalo se zejména o momenty hustoty pravděpodobnosti,
které jistým zhušťujícím způsobem charakterizují průběh, resp. tvar hustoty
pravděpodobnosti:
M0 = ∫ f(x)dx - integrální intenzita,
(1)
kterou je rozumné normovat k 1, podobně jako je normovaná hustota pravděpodobnosti v matematické statistice. To umožňuje dále používat méně komplikované vztahy pro normované resp. redukované momenty (kolem počátku), které jsou definovány rovnicemi [1]
m0 = ∫ f(x)dx = 1,
m1 = ∫ x f(x)dx
= T – těžiště,
m2 = ∫ x2 f(x)dx,
(2)
m3 = ∫ x3
f(x)dx,
m4 = ∫ x4 f(x)dx,
Centrální momenty,
vztažené k těžišti, pak vycházejí [1]
μ0 = 1
μ1 = 0
μ2 = ∫(x –
m1)2 f(x)dx = m2
- (m1 )2 = W
– variance, (3)
μ3 = m3 -
3 m1 m2
+ 2 (m1 )3
μ4 = m4 –
4 m1 m3 + 6 (m1 ) 2
m2 - 3
(m1)4
Důležitou vlastností
momentů je, že pokud funkce h je konvolucí funkcí f a g,
pak pro těžiště a pro variance platí [2]
Th = Tf +Tg
(4)
a
Wh = Wf + Wg
(5)
Podobný jednoduchý vztah
aditivity platí ještě pro třetí centrální momenty μ3, zatímco
pro čtvrté momenty platí [2]
μ4,h
= μ4,f + 6 μ2,f μ2,g +
μ4,g (6)
V analýze difrakčních profilů se velmi často užívá druhý centrální moment – variance, nejen díky rovnici (5), ale taky díky své přímé fyzikální interpretaci [3]. Na užitečnost čtvrtých momentů v profilové analýze bylo upozorněno v [4]. Více pozornosti věnovali čtvrtým momentům autoři [5], zejména k určování velikosti částic, mikrodeformací a obsahu uhlíku v martenzitu z jedné difrakční linie. Jejich postup byl použitý k určení velikosti částic a mikrodeformací z jedné linie při studiu plastické deformace kovů [6]. V příspěvku bude pozornost zaměřena zejména na tuto problematiku.
[1] H. Cramér, Mathematical Methods of
Statistics. Princeton: Princeton University Press. 1946.
[2] A. Fingerland, Czech J. Phys., B
10, (1960), 233.
[3] A.J.C. Wilson, Proc. Phys. Soc., 80,
(1962), 286, 81, (1963), 41, 82, (1963), 986.
[4] G.B. Mitra, Brit. J. Appl. Phys., 15,
(1964), 917.
[5] A.S. Kagan & V.M. Snovidov, Fizika
metallov i metallovedenije, 19, (1965), 191.
[6] J. Neumann & M. Čermák, Čs. čas. fyz., A
27, (1977), 601.
Poděkování. Tato práce vznikla v rámci realizace projektu
Grantové agentury České republiky, číslo 106/07/0805.