Čtvrté momenty v profilové analýze

 

M. Čerňanský

 

Fyzikální ústav AV ČR, v.v.i., Na Slovance 2, 182 21 Praha 8, Česká republika

cernan@fzu.cz

 

K popisu difrakčních profilů byly z matematické statistiky formálně převzaty některé veličiny charakterizující hustotu (rozložení) pravděpodobnosti f(x) náhodné veličiny x. Motivem byla vnější podobnost tvarů hustot pravděpodobnosti a difrakčních profilů. Jednalo se zejména o momenty hustoty pravděpodobnosti, které jistým zhušťujícím způsobem charakterizují průběh, resp. tvar hustoty pravděpodobnosti:

 

                                                                  M0  = ∫ f(x)dx - integrální intenzita,                                                                (1)

 

kterou je rozumné normovat k 1, podobně jako je normovaná hustota pravděpodobnosti v matematické statistice. To umožňuje dále používat méně komplikované vztahy pro normované resp. redukované momenty (kolem počátku), které jsou definovány rovnicemi [1]

 

                                                                  m0  = ∫ f(x)dx = 1,

                                                                  m1  = ∫ x f(x)dx = T – těžiště,

                                                                  m2  = ∫ x2 f(x)dx,                                                                                                 (2)

                                                                  m3  = ∫ x3 f(x)dx,

                                                                  m4 = ∫ x4 f(x)dx,

 

Centrální momenty, vztažené k těžišti, pak vycházejí [1]

 

                                                                   μ0  = 1

                                                                   μ1  = 0

                                                                   μ2  = ∫(x – m1)2 f(x)dx =  m2 - (m1 )2  = W – variance,                                    (3)

                                                                   μ3  = m3  - 3 m1  m2   + 2 (m1 )3 

                                                                   μ4  = m4 4 m1 m3  + 6 (m1 ) 2 m2  - 3 (m1)4

 

Důležitou vlastností momentů je, že pokud funkce h je konvolucí funkcí f a g, pak pro těžiště a pro variance platí [2]

 

                                                   Th = Tf  +Tg                                                                                                                                                              (4)

 a  

                                                                                                          Wh = Wf + Wg                                                                                                                                                    (5)

 

Podobný jednoduchý vztah aditivity platí ještě pro třetí centrální momenty μ3, zatímco pro čtvrté momenty platí [2]

 

                                                                    μ4,h = μ4,f + 6 μ2,f μ2,g + μ4,g                                                               (6)

 

V analýze difrakčních profilů se velmi často užívá druhý centrální moment – variance, nejen díky rovnici (5), ale taky díky své přímé fyzikální interpretaci [3]. Na užitečnost čtvrtých momentů v profilové analýze bylo upozorněno v [4]. Více pozornosti věnovali čtvrtým momentům autoři [5], zejména k určování velikosti částic, mikrodeformací a obsahu uhlíku v martenzitu z jedné difrakční linie. Jejich postup byl použitý k určení velikosti částic a mikrodeformací z jedné linie při studiu plastické deformace kovů [6]. V příspěvku bude pozornost zaměřena zejména na tuto problematiku.

 

[1] H. Cramér, Mathematical Methods of Statistics. Princeton: Princeton University Press. 1946.

[2] A. Fingerland, Czech J. Phys., B 10, (1960), 233.

[3] A.J.C. Wilson, Proc. Phys. Soc., 80, (1962), 286, 81, (1963), 41, 82, (1963), 986.

[4] G.B. Mitra, Brit. J. Appl. Phys., 15, (1964), 917.

[5] A.S. Kagan & V.M. Snovidov, Fizika metallov i metallovedenije, 19, (1965), 191.

[6] J. Neumann & M. Čermák, Čs. čas. fyz., A 27, (1977), 601.

 

Poděkování. Tato práce vznikla v rámci realizace projektu Grantové agentury České republiky, číslo 106/07/0805.