Fyzikální
ústav AV ČR, Na Slovance 2, 182 21
Praha 8
Uvažujme polykrystalický materiál skládající se z velkého počtu monokrystalických zrn. Pod pojmem velikost částic (zrn) rozumíme v rentgenové difrakci velikost oblasti koherentního rozptylu. Velikost této oblasti nemusí být obecně shodná s velikostí zrn určenou jiným způsobem (např. mikroskopem). Velikost zrna se rentgenografickými metodami určuje kolmo k difraktujícím rovinám. Mikrodeformací rozumíme fluktuace meziroviných vzdáleností v množině zrn. Jak mikrodeformace tak zrna menší než 10-6 m způsobují rozšíření difrakčních linií (zrna větší než 10-6 m způsobují rozpad difrakčních linií na jednotlivé stopy). Šířku difrakční linie definujeme zpravidla dvěma způsoby a to buď jako pološířku (2w, FWHM) - šířku difrakční linie v poloviční výšce profilu nebo jako integrální šířku (β, integral width) - plochu pod difrakční linií dělenou její výškou. Šířka difrakční linie je dána přístrojovou (instrumentální) šířkou a fyzikálním (čistě difrakčním) rozšířením daným převážně mikrodeformacemi a malou velikostí částic. Určení fyzikálního rozšíření z naměřeného profilu se u níže zmíněných metod běžně provádí pomocí předpokladů o tvaru profilů difrakčních linií (přístrojového, fyzikálního). Fyzikální profil je dán konvolucí profilu daného mikrodeformacemi a profilu daného malou velikostí částic.
Metoda tvarového faktoru [1] využívá k interpretaci jedinou difrakční linii. Používá předpoklad, že fyzikální profil způsobený pouze mikrodeformacemi má tvar Gaussovy funkce a fyzikální profil způsobený pouze malou velikostí částic má tvar Cauchyho (Lorentzovy) funkce. Tato metoda předpokládá profily difrakční linie (měřený - h, přístrojový - g, fyzikální - f ) ve tvaru Voigtovy funkce, která je konvolucí a Gaussovy a Cauchyho funkce. K separaci integrálních šířek difrakční linie používá rozklad na Cachyho a Gaussovu složku pomocí tvarového faktoru φ = 2w/β. Odstranění přístrojového vlivu se provádí pro Cauchyho složku pouhým odečtením, pro Gaussovu složku odečtením kvadrátů:
βCf = βCh – βCg (βGf)2 = (βGh)2 – (βGg)2 (1).
Z Cauchyho složky fyzikálního integrálního rozšíření spočteme velikost částic D, z Gaussovy složky velikost relativní mikrodeformace ε:
D = λ / (BCf cos θ) ε = βGf / 4 tg θ (2).
Metoda Williamsonova-Hallova grafu [2] využívá více difrakčních
linií (nejlépe více řádů dané reflexe) k separaci příčin rozšíření
difrakčních linií. Tato metoda interpretuje fyzikální šířky. Uvažuje obdobu
vzorců (2). Používá v zásadě třech možností vynášení: 1. obě příčiny
rozšíření mají Cauchyho profil, 2. obě mají Gaussův profil, 3. malé velikosti
částic odpovídá Cauchyho a mikrodeformacím Gaussův profil. Do této metody lze zahrnout
i opravu na vrstevnaté chyby a opravu na anizotropii elastických koeficientů
[3], která vychází ze znalosti monokrystalických elastických konstant.
Obě metody byly použity na prášky wolframu, plech a prášky mědi. Velikosti zrn určené metodou tvarového faktoru spíše klesají s rostoucím úhlem 2θ a poměrně značně se liší pro jednotlivé linie jednoho vzorku, ani výsledky mikrodeformací nejsou vždy ve shodě s teorií elasticity. Metoda je citlivá na přesné určení tvarového faktoru. Pro některé vzorky je tvarový faktor menší, než tato metoda předpokládá.Tento jev se dá vysvětlit dvojí velikostí zrna. Metodu Williamsonova-Hallova grafu lze použít bez oprav na materiály s malou anizotropií elastických konstant (wolfram), pro materiály s větší anizotropií (měď) je nutné zahrnout opravy. Třetí způsob vynášení je citlivější na chyby. Už pro středně široké linie (tím spíše pro úzké) je vhodné věnovat větší pozornost způsobu odstranění přístrojového vlivu.
Literatura:
[1] Th. de Keijser, J.
I. Langford, E.J. Mittemeijer and A.B.P. Vogels, J. Appl. Cryst. 15 (1982) 308-314.
[2] H.P. Hlug, L.E. Alexandr: X-Ray Diffraction Procedures. New York 1974, 2nd ed.. Wiley.
[3] T. Ungár and G.
Tichy, Phys. Stat. Sol. (a) 171
(1999) 425-434.