ROVINNÉ A PROSTOROVÉ MŘÍŽE

Rovinné mříže

Existuje pouze pět různých typů rovinných mříží, tyto mříže vyhovují operacím symetrie prvků 1, 2, 3, 4, 6 a m. Nejobecnější rovinná mříž - rovnoběžníková - je v souladu s 1 a 2. Rovina zrcadlení m vyžaduje kolmost řad mřížových bodů k m a této podmínce vyhovuje mříž pravoúhlá a diamantová. Trojúhelníková mříž s úhlem mezi osami 120° vyhovuje 3 a 6 a čtvercová mříž je konzistentní se 4. Osy otáčení a roviny zrcadlení jsou kolmé k rovině mříže. Mříže s vyšší symetrií obsahují též prvky symetrie mříží o nižší symetrii.

Trojrozměrné mříže bychom nyní mohli vytvářet vrstvením rovinných mříží nad sebou. To je možné provést více způsoby. Přítomnost některých rpvků symetrie si vynucuje existenci dalších. 

Povšimněme si nejprve rozložení os otáčení v rovinných mřížích. Je-li kombinována rotační osa s kolmým posunem, musí existovat i rotační osa rovnoběžná s výchozí. To znamená, že např. rovnoběžníková rovinná mříž, konzistentní s 2četnými osami umístěnými v mřížových bodech, je konzistentní ještě s dalšími 2četnými osami umístěnými mimo mřížové body v důsledku kombinace původních os s translacemi mříže. Rozmístění těchto os pochopíme snadno, obklopíme-li translačně ekvivalentní 2četné osy, tj. osy umístěné v mřížových bodech, asymetrickým motivem. Je patrné, že musí existovat i 2četné osy umístěné uprostřed mezi translačně ekvivalentními osami. Často tak přítomnost určitých prvků symetrie vyvolá automatickou přítomnost dalších.

Podobně bychom mohli postupovat i u ostatních rovinných mříží. Kombinace prvků symetrie s translacemi rovinných mříží se nazývají rovinné grupy a existuje 17 typů rozdílných rovinných grup. Tři z nich jsou znázorněny na obrázku níže. Je z něj patrno, že nově vzniklé rotační osy mohou mít i jinou četnost než původní (o tom se lze opět přesvědčit pomocí opakovaných motivů). Symboly naznačují polohu prvků symetrie v mříži. U obrázku jsou tedy čtyřčetné osy ve středu a rozích čtverce. Pootočením čtverce kolem nich o 90 stupňů dostaneme stejný vzor.
Kromě toho existují ještě dvojčetné osy na stranách čtverce.

Prostorové mříže a krystalové soustavy

Trojrozměrné mříže si můžeme představit jako sled rovinných mříží vzniklý periodickým opakováním těchto rovinných mříží translací ve třetím rozměru. V případě rovnoběžníkové mříže, konzistentní s 1, můžeme další rovinnou mříž umístit nad výchozí do libovolné polohy a získáme tak nejobecnější prostorovou mříž. Její primitivní buňka je rovnoběžnostěn s nestejnými délkami hran a s nestejnými úhly mezi nimi. Tímto postupem získáme všechny možné trojrozměrné mříže.

Soubor prvků symetrie krystalu se nazývá bodová grupa a prostorová mříž krystalu musí být v souladu s jeho bodovou grupou. Dá se ukázat, že existují určité prvky symetrie společné vždy pro určitou skupinu bodových grup, což vede k přirozenému rozdělení krystalů do krystalových soustav podle těchto společných prvků symetrie. Krystalové soustavy byly vzhledem ke své užitečnosti pojmenovány. Jsou uvedeny v tabulce (názvosloví není zcela jednotné, v závorce jsou uvedeny ekvivalenty) spolu se společnými minimálními prvky symetrie, což jsou minimální symetrie postačující k zařazení krystalu do dané krystalové soustavy - jsou diagnostickými prvky každé soustavy. Zjistíme-li tedy například přítomnost čtyřčetných a trojčetných os, je zřejmé, že krystal patří do kubické soustavy. Šestičetná osa zařazuje jednoznačně krystal do hexagonální soustavy.

Bravaisovy mříže

Dá se dokázat (např. systematickým vyšetřováním možných způsobů vrstvení rovinných mříží), že existuje pouze 14 různých prostorových mříží. Nazývají se také Bravaisovy mříže podle autora prvního úplného odvození (r. 1850). Každý krystal lze tak musí mít být charakterizován jednou z těchto mříží (jejím opakováním ve všech třech směrech vznikne krystal).

Na obrázku jsou znázorněny konvenční buňky 14 prostorových mříží. 

V tabulce jsou prostorové mříže rozděleny do šesti krystalových rodin v důsledku přiřazení mříží konzistentních s 3 k hexagonální soustavě, i když by podle symetrie příslušely k soustavě trigonální. Důvod tohoto přiřazení spočívá v tom, že při klasifikaci mříží je rozhodující typ mříže spíše než minimální symetrie. Daným přiřazením se dosáhne jednotnosti popisu mříží konzistentních s 3 pomocí jediného systému os.

Symboly P, A, B, C, I, F a R značí tzv. centrování buňky. Příslušné souřadnice jsou v následující tabulce. Smysl je patrný z obrázku.

Charakteristiky jednotlivých soustav jsou v následující tabulce.

 Odkazy v pravém sloupci jsou klikací. Objeví se příslušná základní buňka, se kterou je možné otáčet.